Тихонов Н. А. - Основы математического моделирования - Явления переноса (Лекция 5)

YOUTUBE · 30.11.2025 09:31

Ключевые темы и таймкоды

Введение в метод подобия

0:10

В физических задачах часто можно пропорционально растянуть координаты, чтобы сохранить задачу.
Пример: уравнение теплопроводности на бесконечной прямой с условием у от икс ноль равняется единица при икс больше нуля и ноль при икс меньше нуля.
Если икс изменить в н раз, а т в н квадрат раз, то задача останется в силе.

Решение задачи с использованием метода подобия

1:13

Ищем решение у как ф от комбинации от ф зет, где зет - это икс, деленное на два корни из т.
Подставляем в уравнение: у- пот- это ф штрих по своей координате по зет- зет- пот.
Получаем уравнение: а квадрат ф два штриха равняется минус два зет ф штрих.

Граничные условия и общее решение

2:47

При икс больше нуля, а т равно нулю, зет будет бесконечность и на бесконечности единица эф от бесконечности единица.
При икс меньше нуля, т стремится к нулю, ф от нуля равно нулю.
Общее решение: эф. штрих равняется с на е степени минус зет квадрат на а квадрат.

Интегрирование и нахождение решения

3:29

Интегрируем ф азет: это есть с на первообразную.
Первообразную представляем как интеграл от нуля до зет на а есть в степени минус си квадрат декси плюс с один.
Окончательно имеем: ф это есть а большое на функцию ошибок зет, деленное на а плюс б, где а и б - константы.

Нахождение констант и решение задачи

5:34

Используем условия: полагаем зет равно бесконечности, функция ошибок от бесконечности равна единице.
Полагаем зет равно нулю, функция ошибок от нуля равна нулю.
Находим а и б: а плюс б равно один, б равно нулю.

Заключение и применение метода подобия

6:58

Решение задачи: у от x т- это есть одна вторая функция ошибок от икс на два, а корень из т плюс один.
Метод подобия применим не всегда, так как начальные условия должны быть такими, чтобы их можно было растягивать.
В следующем параграфе рассматривается задача Стефана.

Задача Стефана

8:18

Рассматривается процесс теплопроводности в двух прилегающих областях с движущейся границей.
Пример: металлическая болванка, где граница движется из-за фазового перехода.
Задача оттаивания земли: плоская земля с фазовым переходом, где температура меняется.

Условия задачи

9:22

Земля плоская, координата x направлена вниз.
Граница фазового перехода: у-1 и у-2, где у-1 и у-2 - температуры.
Начальные условия: у-1 при x=0 равно t+, у-2 при x=0 равно t-.

Условия движения фазовой границы

12:04

Фазовая граница движется из-за разности потоков тепла.
Скрытая теплота фазового перехода умножается на скорость движения границы.
Задача Стефана решается методом подобия.

Метод подобия

14:19

Вводится переменная z=x/2√t.
У-1 и у-2 выражаются через функции ошибок.
Условия на фазовом переходе и начальные условия используются для нахождения коэффициентов.

Решение задачи

21:10

Находятся коэффициенты a1 и a2.
Подставляются в уравнение для определения скорости фазового перехода.
Скорость фазового перехода зависит от корня из температуры.

Заключение

29:04

Задача Стефана сводится к алгебраическим уравнениям методом подобия.
Переход к нелинейным уравнениям, которые решаются сложнее из-за отсутствия принципа суперпозиции.
Рассматриваются характерные особенности нелинейных уравнений, такие как крутизна волн и разрывы.

Введение в уравнения переноса

30:39

Рассматриваются линейные и квазилинейные уравнения переноса.
Пример с трубой и потоком воздуха.
Введение понятия концентрации вещества и закона сохранения.

Уравнение переноса

32:02

Изменение количества вещества равно потоку через границы.
Использование теоремы о среднем для упрощения уравнения.
Уравнение переноса: dU/dt + f(x,t)dU/dx = 0.

Линейные и квазилинейные уравнения

34:14

Линейные уравнения: dU/dt + f1(x,t)dU/dx + f2(x,t)dU/dy = 0.
Квазилинейные уравнения: dU/dt + f1(x,t)dU/dx + f2(x,t)dU/dy + f3(x,t)U = 0.
Нелинейность в квазилинейных уравнениях.

Линейные уравнения первого порядка

37:39

Линейное уравнение: dU/dt + a(x,y,t)dU/dx + b(x,y,t)dU/dy + c(x,y,t)U = f.
Уравнение характеристик: dt/dx = a, dt/dy = b.
Система двух уравнений первого порядка.

Характеристики и их свойства

40:13

Характеристики заполняют пространство и не пересекаются.
Полная производная вдоль характеристики: dU/dt = aU/dx + bU/dy.
Уравнение вдоль характеристики: dU/dt = f.

Описание характеристик

44:23

Характеристики фиксируются двумя параметрами.
Первый интеграл: функция, сохраняющая значение на фиксированной характеристике.
Второй интеграл: другая функция, сохраняющая значение на фиксированной характеристике.

Переход к обыкновенным дифференциальным уравнениям

46:48

Переход от уравнения в частных производных к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Условия на пересечении характеристики и поверхности.
Решение обыкновенного дифференциального уравнения.

Замечания и обобщенные решения

48:01

Единственность решения при пересечении характеристик и поверхности.
Уравнение сохранения значения решения вдоль характеристики.
Обобщенные решения при разрывных начальных условиях.

Введение в квазилинейное уравнение

51:58

Рассматривается квазилинейное уравнение с переменными x и t.
Уравнение зависит от x и t, где x = f от x.
Задаются условия, что y = f от x и t на кривой, где f от x и t = 0.

Решение задачи

53:15

Задача решается в трехмерном пространстве x, y, t.
На плоскости x и t задана кривая, где f от x и t = 0.
Требуется найти функцию y, удовлетворяющую уравнению на этой кривой.

Неявное соотношение

54:14

y ищется из неявного соотношения y = f от x, t.
Производные y и x выражаются через производные f.
Получаем линейное уравнение для определения f.

Линейное уравнение

57:06

Уравнение становится линейным, но с тремя переменными x, y, t.
Начальные условия задаются на кривой, где f от x и t = 0.
Задача решается методом характеристик.

Метод характеристик

1:02:21

Рассматривается уравнение ду по дт + a от x, t, y ду по дx = 0.
Уравнение характеристик: dt = dx / a.
На характеристиках y не меняется, что позволяет найти решение при t = 1.

Заключение

1:05:26

Метод характеристик позволяет найти решение при t = 1, зная решение при t = 0.
Решение строится путем проведения характеристик и сохранения решения на них.

Разрыв решений

1:05:58

Рассматривается задача с разрывом решений.
Рассматривается функция, зависящая только от у.
Рассматриваются монотонно убывающие и растущие функции.

Построение характеристик

1:07:05

Нарисовываются оси икс, игрек и т.
Рассматривается функция фи, которая монотонно убывает.
Проекции характеристик пересекаются, что приводит к разрыву решений.

Обобщенное разрывное решение

1:11:18

Исходный метод поиска решения приводит к двум значениям у.
В точке пересечения характеристик dv/dt обращается в ноль.
Строится обобщенное разрывное решение, включающее линию разрыва.

Определение скорости разрыва

1:14:15

Используется закон сохранения вещества для определения скорости разрыва.
Рассматривается изменение количества вещества и разность потоков.
Условие Гюгонио определяет проекцию скорости разрыва.

Пример протекания воды сквозь песок

1:17:05

Рассматривается движение воды сквозь песок.
Скорость потока зависит от влажности.
Уравнение описывает движение воды при линейной зависимости скорости от влажности.

Поведение характеристик

1:20:32

Рассматриваются характеристики, выходящие из разных точек.
Характеристики пересекаются в одной точке при т равном единице.
Фронт становится вертикальным, происходит разрыв.

Скорость разрыва

1:26:25

Определяется скорость разрыва с помощью условия Гюгонио.
Рассматривается уравнение переноса и его решение.
Фронт движется со скоростью, определяемой условием Гюгонио.