Шейпак И.А. - Функциональный анализ. Лекции - 1. Метрические пространства

YOUTUBE · 30.11.2025 06:45

Ключевые темы и таймкоды

Введение в курс функционального анализа

0:19

План первого полугодия: метрические нормированные пространства, банаховы пространства, гильбертовы пространства, функционалы и операторы.
Введение в спектральную теорию и теорию Фольгама.

Метрические пространства

3:41

Определение метрического пространства: пара из множества и функции расстояния.
Свойства функции расстояния: неотрицательность, симметричность, неравенство треугольника.
Примеры метрических пространств: пространство вещественных векторов, пространство непрерывных функций на отрезке, дискретное пространство.

Сходимость в метрических пространствах

10:21

Определение сходимости в метрическом пространстве.
Фундаментальная последовательность и её свойства.
Понятие полного метрического пространства.

Примеры полных и неполных метрических пространств

15:13

Примеры полных метрических пространств: пространство рациональных чисел, пространство финитных последовательностей.
Примеры неполных метрических пространств: пространство рациональных чисел не полно, пространство финитных последовательностей не полно.

Предельные последовательности и пространства

19:12

Предельная последовательность в неполных пространствах может не лежать в этом пространстве.
В полных пространствах предельные объекты автоматически обладают нужными свойствами.
В неполных пространствах нужно быть осторожным с предельными переходами.

Открытые и замкнутые шары

20:26

В метрическом пространстве вводятся понятия открытого и замкнутого шаров.
Открытый шар содержит все точки, расстояние до которых меньше радиуса.
Замкнутый шар содержит все точки, расстояние до которых не больше радиуса.

Предельные точки множества

22:34

Точка x0 является предельной точкой множества M, если для любого эпсона больше нуля шар с центром в x0 и радиусом эпсон пересекает M.
Предельная точка множества M существует тогда и только тогда, когда существует последовательность точек xn, сходящаяся к x0.

Точки прикосновения

27:44

Точка x0 является точкой прикосновения множества M, если для любого эпсона больше нуля шар с центром в x0 и радиусом эпсон пересекает M и не пуст.
Любая предельная точка является точкой прикосновения, но обратное не всегда верно.

Замыкание множества

32:47

Замыкание множества M обозначается как M^ и включает все предельные точки множества M.
Замыкание множества M является замкнутым множеством.
Замкнутое множество содержит все свои предельные точки.

Свойства полных метрических пространств

37:53

Полные метрические пространства имеют дополнительные утверждения, которые могут быть полезны для изучения и построения новых объектов.
Для изучения свойств полных пространств необходимо ввести понятие отображения.

Отображения метрических пространств

38:51

Отображение ф: X → Y между метрическими пространствами X и Y.
Непрерывность отображения: для любого эпсона существует дельта, что для любой точки x, лежащей в шаре с центром в x0, расстояние от f от x до f от y также меньше эпсона.
Равномерная непрерывность: для любого эпсона существует дельта, что для любой пары точек x и y, лежащих в шаре с центром в x0, расстояние от f от x до f от y также меньше эпсона.

Липшицевость отображения

44:36

Липшицевость: существует константа L, что для любых точек x и y, расстояние от f от x до f от y меньше или равно L от x до y.
Изометрия: отображение ф является биекцией и сохраняет расстояние.
Частичная изометрия: отображение ф сохраняет расстояние, но не является биекцией.

Сжимающее отображение

48:14

Сжимающее отображение: существует константа r, что для любой пары точек x и y, расстояние от f от x до f от y меньше или равно r от x до y.
Теорема о сжимающем отображении: в полном метрическом пространстве сжимающее отображение имеет единственную неподвижную точку.

Доказательство существования неподвижной точки

52:43

Определение орбиты точки x0: x1 = f от x0, x2 = f от x1 и т.д.
Применение неравенства треугольника и сжимающего отображения для уменьшения расстояний между точками орбиты.
Построение последовательности точек, стремящейся к неподвижной точке.

Преобразование суммы геометрической прогрессии

57:36

Рассматривается сумма геометрической прогрессии с индексами, стремящимися к бесконечности.
Преобразование суммы в бесконечный ряд и использование свойства, что р в степени н стремится к нулю при н стремящемся к бесконечности.
Вывод: последовательность фундаментальна, что позволяет доказать существование и единственность неподвижной точки.

Доказательство неподвижности и единственности

1:00:07

Проверка неподвижности точки: расстояние между икс и ф от икс стремится к нулю при н стремящемся к бесконечности.
Доказательство единственности: если икс и игрек неподвижные точки, то расстояние между ними стремится к нулю, что возможно только при икс = игрек.

Применение сжимаемости отображения

1:03:28

Использование сжимаемости отображения для доказательства единственности неподвижной точки.
Применение сжимаемости для оценки расстояния между неподвижными точками и доказательство их равенства.

Критерии полноты метрических пространств

1:07:03

Введение понятия системы замкнутых вложенных шаров и их радиусов, стремящихся к нулю.
Теорема: метрическое пространство полно тогда и только тогда, когда существует единственная точка в пересечении системы замкнутых вложенных шаров.

Доказательство существования и единственности точки в пересечении

1:10:15

Доказательство существования точки в пересечении системы замкнутых вложенных шаров.
Последовательность центров шаров фундаментальна и имеет предел, который является единственной точкой в пересечении.

Фундаментальная последовательность

1:15:21

Точка сохраняется к точке, поэтому она может быть единственной.
Система замкнутых вложенных шаров с нулевыми радиусами имеет единственную точку пересечения.
Работа с произвольной фундаментальной последовательностью требует дополнительных усилий.

Полнота метрического пространства

1:16:09

Рассматривается метрическое пространство без полноты.
Система замкнутых вложенных шаров с нулевыми радиусами имеет единственную точку пересечения.
Для доказательства полноты используется произвольная фундаментальная последовательность.

Построение системы замкнутых шаров

1:17:11

Произвольная фундаментальная последовательность имеет свойство, что для любого эпсона существует н, зависящее от эпсона.
Строится система замкнутых вложенных шаров, используя это свойство.
Первый шаг: построение шара с центром в игрек1 и радиусом, равным половине эпсона.

Индуктивный переход

1:19:05

Второй шаг: построение шара с центром в игрек2 и радиусом, равным одной четвертой эпсона.
Проверка вложенности шаров: точка зет лежит в шаре, если расстояние от нее до игрек1 меньше или равно половине эпсона.
Индуктивный переход: построение шара с центром в игрекк+1 и радиусом, равным одной четверти эпсона.

Завершение доказательства

1:26:18

Построена последовательность замкнутых вложенных шаров с центрами в игрекк и радиусами, равными одной четверти эпсона.
Показано существование предела подпоследовательности.
Утверждение: если подпоследовательность имеет предел, то вся фундаментальная последовательность также имеет предел.

Проверка расстояния

1:29:28

Помечено расстояние от игрек до игрек-катах.
Сумма расстояний меньше двух эпсона, что означает, что предел расстояние равен нулю.
Предел всей фундаментальной последовательности равен игрек.