Введение в ортогонализацию Грамма-Шмидта 0:00 Ортогонализация Грамма-Шмидта эквивалентна QR-разложению матрицы. План: сначала детали ортогонализации, затем QR-разложение.
Постановка задачи 0:30 Исходные векторы не обязательно ортогональны. Цель: превратить их в ортогональный набор векторов. Свойства нового набора: ортогональность и совпадение линейных оболочек.
Алгоритм ортогонализации 1:22 Первый вектор f1 равен v1. Второй вектор f2 равен v2 минус проекция v2 на предыдущие векторы. Третий вектор f3 равен v3 минус корректировка проекции v3 на предыдущие векторы и т. д.
Получение ортогональных векторов единичной длины 2:07 Для получения ортогональных векторов единичной длины каждый вектор делится на его длину. Проекция вектора на линейную оболочку векторов f1, ..., fp имеет вид линейной комбинации векторов f1, ..., fp с весами α1, ..., αp.
Матрица Грамма и веса 3:07 Матрица Грамма для векторов f является диагональной. Веса αi равны скалярному произведению vp+1 с f1, делённому на скалярное произведение f1 с f1.
Эквивалентная формулировка ортогонализации 3:52 Вектор fk является линейной комбинацией векторов v1, v2, ..., vk. Использование верхнетреугольной матрицы для записи линейных комбинаций.
QR-разложение матрицы 4:52 Матрица f представлена как f = vU, где U — верхнетреугольная обратимая матрица. Деление столбцов матрицы f на их длину реализуется с помощью диагональной матрицы D. Исходная матрица v представлена как v = KU, где K — ортогональная матрица единичной длины.
Резюме 7:22 Квадратичные формы: положительно определённые, отрицательно определённые. Способы проверки определённости квадратичной формы: метод полных квадратов, собственные числа, критерии Сильвестра. Ортогонализация Грамма-Шмидта эквивалентна QR-разложению матриц. Анонс следующей лекции: обобщение диагонализации, сингулярное разложение.
