Овчинников А. В. - Аналитическая геометрия - Теорема о свойствах скалярного произведения

YOUTUBE · 25.11.2025 07:28

Ключевые темы и таймкоды

Формула разложения определителя

0:10

Формула разложения определителя по элементам первой строки.
Миноры определяются путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент.
Знак слагаемого определяется суммой номеров строки и столбца элемента.

Полное разложение определителя

2:46

Определитель можно разложить по любой строке или столбцу.
Формула полного разложения определителя включает шесть слагаемых.
Определитель не меняется при транспонировании матрицы.

Основные свойства определителя

5:58

Определитель третьего порядка имеет три основных свойства: линейность, косо-симметричность и нормировка.
Определитель равен нулю, если его столбцы или строки линейно зависимы.
Определитель не меняется при добавлении линейной комбинации столбцов или строк.

Пример вычисления определителя

10:24

Пример вычисления определителя с использованием операций над строками.
Добавление линейной комбинации строк к определителю для упрощения вычислений.
Использование ведущей строки для упрощения вычислений.

Теорема о фальшивом разложении

15:55

Введение термина "алгебраическое дополнение элемента".
Алгебраическое дополнение включает минор с дополнительным знаком.
Теорема о фальшивом разложении определителя третьего порядка.

Алгебраическое дополнение

17:46

Алгебраическое дополнение элемента равно плюс или минус соответствующий минор.
Определитель равен сумме попарных произведений элементов строки на их алгебраические дополнения.
Сумма попарных произведений элементов строки на алгебраические дополнения элементов другой строки равна нулю.

Теорема о фальшивом разложении

19:06

Сумма попарных произведений элементов строки на алгебраические дополнения элементов другой строки равна нулю.
Доказательство теоремы: разложение определителя по первой строке и замена элементов на элементы третьей строки.
Сумма попарных произведений элементов третьей строки на алгебраические дополнения элементов первой строки равна нулю.

Скалярное произведение векторов

25:13

Скалярное произведение двух векторов равно произведению их длин на косинус угла между ними.
Скалярное произведение не зависит от порядка множителей, так как косинус четная функция.
Проекция вектора на ось, содержащую другой вектор, равна произведению длины вектора на косинус угла между ними.

Свойства скалярного произведения

35:12

Скалярное произведение не меняется при перестановке множителей.
Скалярное произведение линейно по каждому аргументу.
Числовой множитель можно вынести за знак скалярного произведения.

Свойства скалярного произведения

38:17

Линейность по второму аргументу: скалярное произведение вектора на линейную комбинацию.
Симметричность: скалярное произведение вектора на себя равно нулю только при нулевом векторе.
Положительная определенность: скалярное произведение вектора на себя больше или равно нулю.

Ортонормированный базис

40:36

Базис из трех единичных взаимно перпендикулярных векторов.
Ортонормированный базис: единичные попарно ортогональные векторы.
Разложение векторов по ортонормированному базису.

Вычисление скалярного произведения

42:54

Перемножение линейных комбинаций векторов.
Использование свойств скалярного произведения: коммутативность, линейность, положительная определенность.
Формула для вычисления скалярного произведения через координаты в ортонормированном базисе.

Векторное произведение

47:56

Векторное произведение двух векторов: вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат исходные векторы.
Определение векторного произведения: длина вектора, перпендикулярность, правая тройка.
Правило правой руки, правило покоя, правило буравчика для определения направления векторного произведения.

Свойства векторного произведения

54:40

Изменение знака векторного произведения при перестановке сомножителей.
Проекции на прямую, перпендикулярную плоскости, и их влияние на направление векторного произведения.

Свойства векторного произведения

56:54

Векторное произведение обладает свойством линейности.
Косо-симметричность: при перестановке столбцов определителя знак меняется.
Линейность по каждому аргументу: результат векторного произведения линейно зависит от коэффициентов.

Доказательство линейности

58:54

Для доказательства линейности потребуются смешанные произведения.
Формула для вычисления векторного произведения через координаты.
Разложение векторов по ортонормированному базису.

Вычисление векторного произведения

1:00:02

Вычисление девяти слагаемых векторного произведения.
Упрощение выражения путем исключения нулевых слагаемых.
Определение векторного произведения через определитель.

Определитель и векторное произведение

1:05:50

Определитель как удобная форма для записи векторного произведения.
Перестановка векторов меняет знак определителя.
Векторное произведение и определитель согласованы.

Смешанные произведения

1:10:03

Смешанное произведение трех векторов как скалярное произведение первого вектора на векторное произведение двух других.
Геометрический смысл смешанного произведения как объема параллелограмма.
Знак смешанного произведения указывает на ориентацию тройки векторов.

Свойства смешанных произведений

1:17:12

Смешанные произведения линейны по первому аргументу.
Под знаком смешанного произведения можно переставлять буквы по кругу без изменения знака.
Перестановка букв по кругу называется циклической перестановкой.

Циклическая перестановка

1:18:00

Циклическая перестановка сохраняет знак смешанного произведения.
Перестановка двух соседних букв меняет знак смешанного произведения.
Смешанные произведения равны с точностью до знака, если перестановка циклическая.

Линейность смешанного произведения

1:24:10

Смешанное произведение линейно по каждому аргументу.
Линейность смешанного произведения позволяет вывести линейность векторного произведения.

Доказательство линейности векторного произведения

1:25:42

Векторное произведение обладает свойством линейности.
Доказательство через скалярные произведения и смешанные произведения.
Векторное произведение равно нулевому вектору, что доказывает его линейность.

Вычисление смешанного произведения через координаты

1:31:56

Смешанное произведение вычисляется через скалярное произведение вектора на векторное произведение.
Векторное произведение выражается через определители второго порядка.
Смешанное произведение трех векторов вычисляется через определитель третьего порядка, который представляет собой ориентированный объем параллелепипеда.