Введение в групповую скорость 0:02 Обсуждение волнового пакета и групповой скорости. Групповая скорость равна производной по времени от волнового вектора. Пример с волновым пакетом и его движением.
Разложение волнового пакета 0:54 Разложение волнового пакета до первого порядка малости. Обсуждение зависимости энергии от волнового вектора. Введение понятия скорости и её связь с энергией.
Пренебрежение слагаемыми 3:52 Пренебрежение слагаемыми в разложении волнового пакета. Обсуждение условий, при которых можно пренебречь слагаемыми. Пример с газовым пакетом и его шириной.
Ширина волнового пакета 7:21 Ширина волнового пакета должна расти со временем. Пакет расплывается, увеличивая неопределенность координат. Пример с гауссовским пакетом и его интегралом.
Интеграл и его оценка 10:12 Оценка ширины нового пакета. Обсуждение дисперсии волновых векторов. Пример с интегралом и его результатом.
Ширина пакета и время 14:16 Ширина пакета зависит от времени. Пример с частицей массой один грамм. Время расплывания волнового пакета для разных масс.
Неопределенность волнового пакета 19:53 Волновой пакет расплывается со временем, увеличивая неопределенность. Для классических частиц неопределенность не увеличивается. Амплитуда волнового пакета уменьшается при его расширении.
Переход к квантовой механике 21:48 Волновые пакеты могут расплываться со временем. Квантовая механика описывает систему через её состояние в каждый момент времени. Состояние системы полностью определяет её эволюцию.
Уравнение Шредингера 25:11 Уравнение Шредингера должно быть первого порядка по времени. Уравнение должно быть линейным, чтобы выполнять условие суперпозиции. Эти условия позволяют продвинуться в понимании квантовой механики.
Пример с волновым пакетом 30:09 Рассматривается волновой пакет и его производные по координатам и времени. Вторая производная по координате сводится к кинетической энергии частицы. Уравнение Шредингера связывает производные волновой функции с энергией частицы.
Уравнение Шредингера 36:05 Уравнение Шредингера является определяющим в квантовой механике. Оно описывает эволюцию системы, задавая волновую функцию в начале. Уравнение первого порядка по времени, что отличает его от уравнения диффузии.
Эволюция волнового пакета 38:01 Уравнение Шредингера не является уравнением для распространения волн. Волновой пакет не обязательно должен повторять направление для решения уравнения. Уравнение постулируется, а не выводится из экспериментов.
Переход от квантовой к классической механике 40:32 Уравнение Шредингера можно вывести через интегралы по траекториям. Это позволяет показать переход от квантовой к классической механике. Уравнение не доминирует, что означает невозможность предсказать состояние системы.
Измерение и коллапс состояния 41:50 Измерение коллапсирует состояние системы в одно значение. Прибор, измеряющий систему, считается классическим и не удовлетворяет уравнению Шредингера. После измерения прибор и частица находятся в суперпозиции.
Наблюдаемые и их значения 45:36 В квантовой механике состояние системы описывается наблюдаемыми. Наблюдаемые могут быть дискретными или непрерывными. Дискретные наблюдаемые, такие как спин, имеют дискретный спектр собственных значений.
Состояние системы 49:17 Состояние системы можно записывать как скалярную функцию или вектор. Векторное представление удобно для описания спинов. Векторное представление позволяет учитывать точные координаты и вероятности.
Сопряженные состояния 52:37 Сопряженные состояния вводятся для удобства работы с функциями. Они технически не отличаются от обычных состояний, но используются для скалярных операций. Функции можно представить как бесконечномерный вектор, где каждый компонент дает вероятность состояния.
Удобство выделения компонент 54:51 Иногда удобнее выделять компоненты, отвечающие за разные части системы. Это позволяет лучше контролировать характеристики системы. Математический прием для упрощения работы с функциями.
Скалярное произведение состояний 56:04 Скалярное произведение состояний создает скалярное число. Векторы состояний перемножаются для получения скаляра. Вектор состояния транспонируется и комплексно-сопрягается для корректного скалярного произведения.
Интеграл и скалярное произведение функций 1:02:09 Скалярное произведение функций соответствует интегралу. Интеграл можно представить как сумму, что согласуется с представлением функции как вектора. Норма функции определяется как корень из скалярного произведения функции самой на себя.
Дильковские обозначения 1:06:21 Дильковские обозначения удобны для общего представления состояний. Они могут быть непривычны, но полезны для работы с состояниями. Прибор выдает значение, соответствующее суперпозиции состояний, которые он измеряет.
Разложение состояний по собственным функциям 1:09:07 Любое состояние можно разложить по собственным функциям, которые дают точные значения показаний прибора. Это позволяет точно описать состояние системы и ее поведение.
Собственные функции прибора 1:10:10 Прибор всегда показывает что-то, поэтому хотя бы одно слагаемое в сумме не равно нулю. Разложение функции возможно по различным наблюдаемым величинам. Набор собственных функций прибора является полной системой функций.
Пример разложения функции 1:12:42 Пример разложения функции по базису плоских волн. Коэффициенты разложения дают вероятность нахождения системы в определенном состоянии. Сумма квадратов коэффициентов должна быть равна единице.
Нормировка функций 1:15:41 Сумма квадратов коэффициентов равна единице, если функции нормированы. Нормировка функций не обязательна, но часто удобнее считать их нормированными. Проблемы могут возникать при плохих собственных функциях, как в случае плоских волн.
Скалярное произведение и свертка 1:19:12 Коэффициенты разложения функции находятся как скалярное произведение. В функциональном представлении это интеграл свертки. Пример разложения в ряд Фурье.
Ортогональность и автодиагональность 1:24:17 Функции, по которым разложено состояние, должны быть ортогональными и нормированными. Свертки состояний равны нулю, если состояния разные, и единице, если состояния одинаковые. Это также справедливо для разложения в ряд Фурье и других базисов.
