Отношения. Натуральные числа. Мощность множества. Дискретная математика. Лекция № 2. С.В. Судоплатов

YOUTUBE · 22.11.2025 07:07

Ключевые темы и таймкоды

Понятие отношения

0:12

Рассматриваются отношения между множествами, которые включают все упорядоченные пары с определенными координатами.
Декартово произведение множеств дает множество точек, а из этого множества можно выбрать только интересующие нас пары.

Примеры отношений

9:47

Пример отношения на шахматной доске, где ладья ходит по вертикали или горизонтали.
Пример отношения, которое связывает клетки шахматной доски с координатами.

Хранение и представление отношений

14:11

Геометрическое представление отношений в виде точек на плоскости.
Аналитическое представление отношений в виде матрицы.
Представление отношений в виде пятиграфа, где элементы множеств а и б перечисляются, а стрелки отмечают переходы между элементами.

Функции и отношения

17:37

Отношения не являются функциями, так как они могут допускать неоднозначные переходы и не исключают элементы.
Пример отношения на шахматной доске также не является функцией, так как ладья может находиться в разных точках.

Тождественное отношение

19:41

Тождественное отношение - это множество всех пар элементов, где каждый элемент переходит только в себя.
Пример: диагональ на множестве, где каждый элемент переходит только в себя.

Бинарное отношение и его область определения

23:41

Бинарное отношение - это связь между элементами множества.
Область определения - это множество элементов, из которых выходят стрелки в отношении.

Обратное отношение и его образ

25:46

Обратное отношение - это отношение, обратное исходному.
Образ множества - это множество, переведенное по отношению.

Функция и ее свойства

31:53

Функция - это бинарное отношение, которое удовлетворяет двум условиям: область определения совпадает с множеством, и если пара элементов попадает в отношение, то их значения совпадают.
Примеры функций: тождественная функция, проекция, примитивно-рекурсивные функции.

Взаимно-однозначное соответствие

43:13

Взаимно-однозначное соответствие - это функция, которая каждому элементу из множества А ставит в соответствие единственный элемент из множества Б.
Примеры взаимно-однозначных соответствий: подстановка, тождественное отношение, кодирование натуральных чисел с помощью целых чисел.

Натуральные числа

52:08

Определение натуральных чисел с помощью конструктивного и максиматического подходов.
Мощность множества натуральных чисел - счетная, меньше мощности множества двоичных последовательностей.

Свойства натуральных чисел

1:01:49

Четыре основных свойства натуральных чисел: объем, нумерация, предшественник, следующий элемент.
Функция следования - это функция, которая каждому элементу ставит в соответствие следующий элемент.

Математическая индукция

1:04:22

Принцип математической индукции: если свойство выполняется на начальном элементе и для каждого натурального числа, то оно выполняется для всех натуральных чисел.
Примеры использования математической индукции: сложение, умножение, факториал.

Мощность множества

1:14:38

Мощность множества - класс всех множеств, эквивалентных данному множеству.
Конечные множества: множество натуральных чисел, двоичных последовательностей, множество студентов группы.
Бесконечные множества: множество всех натуральных чисел, двоичных последовательностей, вещественных чисел.
Классификация множеств: конечные, счетные, континуальные.