Как решать уравнение с модулем Уравнение с модулями как решать Как раскрыть модуль в уравнении

YOUTUBE · 19.11.2025 06:14

Ключевые темы и таймкоды

Введение

0:00

Начало цикла занятий по решению уравнений.
Тема занятия: уравнения с модулем.

Определение уравнения с модулем

0:11

Уравнение с модулем содержит модуль с переменной внутри.
Пример: уравнение без модуля с x в первой степени является линейным.

Категории уравнений с модулем

1:05

Один отдельный модуль.
Вложенные модули.
Два или более не вложенных модуля.

Решение уравнения с одним модулем

2:05

Два способа решения: подписать + или - к правой части и раскрыть модуль по формуле.
Пример решения: x - 5 = |x - 5| + 8.

Первый способ решения

3:04

Запись уравнения с + и - знаками.
Решение двух линейных уравнений: x = 13 и x = -3.

Второй способ решения

3:54

Раскрытие модуля по формуле с ограничениями: x - 5 > 0 и x - 5 < 0.
Проверка корней на соответствие ограничениям.

Второй пример

7:06

Уравнение с модулем: |3x - 1| + x = 7.
Первый способ: выразить модуль, подписать + или - к правой части, решить линейные уравнения.
Второй способ: раскрыть модуль по формуле с ограничениями, проверить корни на соответствие ограничениям.

Итоги решения второго примера

11:19

Оба способа решения рассмотрены.
Первый способ легче, но второй универсальнее.
Второй способ подходит для неравенств с модулями.

Решение третьего уравнения с модулями

12:12

Уравнение содержит модули, которые всегда положительны или равны нулю.
Убираем модули и подписываем «плюс-минус» к правой части, беря её в скобки.
Записываем уравнение дважды: с плюсом и с минусом.

Преобразование и решение квадратных уравнений

13:10

Переписываем левую часть без изменений, а правую часть — со знаком плюс или минус.
В обоих случаях получаем квадратные уравнения.
Переносим все слагаемые влево, считаем подобные слагаемые.
Решаем квадратное уравнение через дискриминант, который оказывается меньше нуля, поэтому корней нет.

Проверка условий и запись ответа

14:11

Проверяем условие: правая часть должна быть больше или равна нулю.
Так как в правой части стоит модуль, который уже больше или равен нулю, это условие не учитывается.
Записываем найденный корень два в ответ.

Решение четвёртого уравнения с модулем

14:43

Уравнение содержит один модуль, который можно раскрыть двумя способами: подписать «плюс-минус» или раскрыть модуль по формуле.
Выражаем модуль, оставляя его в левой части, а остальное переносим в правую.
Решаем квадратное неравенство, так как правая часть должна быть больше или равна нулю, но это сложно.

Раскрытие модуля по формуле

15:42

Раскрываем модуль по знаку плюс и по знаку минус, записывая ограничения.
В первом случае подмодульное выражение должно быть больше или равно нулю, во втором — меньше нуля.
Находим ограничения: в первом случае x больше или равно 4, во втором — x меньше 4.

Решение квадратных уравнений и проверка корней

16:42

Убираем модуль и переписываем выражение.
В первом случае получаем квадратные уравнения, корни которых находим по теореме Виета: x1 = 4, x2 = 1.
Проверяем корни на соответствие ограничениям: 4 подходит, 1 не подходит.
Во втором случае корни также находим по теореме Виета: x1 = 4, x2 = 3.
Проверяем корни на соответствие ограничению: 3 подходит, 4 не подходит.

Запись ответа для четвёртого уравнения

17:43

Из четырёх найденных корней подходят только два: 3 и 4.
Записываем только эти корни в ответ.

Решение пятого уравнения с модулем

18:22

Уравнение содержит модуль, который можно раскрыть двумя способами: подписать плюс-минус к правой части или использовать формулу раскрытия модуля.
Первый способ нецелесообразен из-за сложности выражения модуля.
Раскрываем модуль по формуле, записывая ограничения: при раскрытии по знаку плюс подмодульное выражение должно быть больше или равно нулю, при раскрытии по знаку минус — меньше нуля.

Применение ограничений и раскрытие модуля

19:19

Записываем ограничения: при раскрытии по знаку плюс x - 2 ≥ 0, при раскрытии по знаку минус x - 2 < 0.
Решаем ограничения: x ≥ 2 и x < 2.
В первой ветви решения убираем модуль и переписываем выражение.
Во второй ветви убираем модуль, подписываем внешний минус и берём подмодульное выражение в скобки.

Приведение к общему знаменателю

20:01

Переносим правую часть уравнения влево и приводим к общему знаменателю 2x + 1.
Домножаем первую дробь на 1, вторую — на 2x + 1.
Получаем уравнение вида: дробь равна нулю, числитель равен нулю, знаменатель не равен нулю.

Нахождение корней и проверка ограничений

21:47

Находим корень: x = 0.
Проверяем, подходит ли корень под ограничения: 0 ≥ 2, но не подходит.
Во второй ветви находим корень: x = -4.
Проверяем, подходит ли корень под ограничения: -4 < 2, подходит.
Записываем корень -4 в ответ.

Решение шестого уравнения с вложенными модулями

22:46

Раскрываем внешний модуль, подписывая плюс-минус к правой части.
Раскрываем внутренний модуль, записывая ограничения: x² - x ≥ 0 и x² - x < 0.
Решаем квадратные уравнения: x² - x = 2 и x² - x = -2.
Находим корни: x = 2 и x = -1.
Решаем неполное квадратное уравнение: x² - x = 0, находим корни: x = 0 и x = 1.

Решение седьмого уравнения с двумя модулями

28:24

Приравниваем к нулю оба подмодульных выражения: x + 1 = 0 и 5 - x = 0.
Находим корни: x = -1 и x = 5.

Решение уравнения на промежутках

31:18

Разбиваем уравнение на три промежутка: от −∞ до −1, от −1 до 5 и от 5 до +∞.
На первом промежутке раскрываем модули: первый модуль со знаком −, второй модуль без изменений. Получаем линейное уравнение: x + 1 + 5 - x = 2.
Находим корень x = 1, но он не подходит для первого промежутка.

Второй промежуток

32:15

На втором промежутке раскрываем модули со знаками +.
Получаем уравнение: x + 1 + 5 - x = 2, которое неверно.
Второй промежуток не даёт корней.

Третий промежуток

33:15

На третьем промежутке раскрываем модули: первый модуль со знаком +, второй со знаком −.
Получаем линейное уравнение: x + 1 - 5 + x = 2.
Находим корень x = 3, но он не подходит для третьего промежутка.

Итог решения седьмого уравнения

34:12

Ни один из трёх промежутков не дал корней.
Ответ: корней нет.

Решение восьмого уравнения

34:45

Уравнение содержит три модуля, используем ось с интервалами.
Приравниваем подмодульные выражения к нулю: x - 2 = 0, x - 3 = 0, 2x - 8 = 0.
Находим корни: x = 2, x = 3, x = 4.

Расстановка знаков на оси

35:38

Рисуем ось с интервалами и расставляем знаки.
Пронумеровываем промежутки: от −∞ до 2, от 2 до 3, от 3 до 4, от 4 до +∞.

Решение на первом промежутке

37:35

Раскрываем модули со знаками −.
Получаем линейное уравнение: -4x = -4.
Корень x = 1 подходит для первого промежутка.

Решение на втором промежутке

39:07

Раскрываем модули со знаками + и −.
Получаем линейное уравнение: -2x = 0.
Корень x = 0 не подходит для второго промежутка.

Решение на третьем промежутке

40:07

Раскрываем модули со знаками +

Введение в решение уравнения с модулем

45:28

Уравнение содержит модуль с переменной x.
Первый способ решения: раскрытие модуля по формуле.
Второй способ: замена модуля на x + 1.

Раскрытие модуля и ограничения

46:28

Раскрываем модуль по знаку плюс и минус.
Ограничения на x: x + 1 ≥ 0 и x + 1 < 0.
Выражаем x: x ≥ -1 и x < -1.

Решение квадратных уравнений

47:26

Делаем замену x + 1 = t.
Решаем квадратное уравнение относительно t.
Корень t = 1.

Возвращение к переменной x

48:25

Выражаем x из замены: x = 0.
Проверяем ограничение: 0 ≥ -1.

Решение второй ветви уравнения

49:25

Раскрываем скобки и решаем квадратное уравнение.
Применяем формулу сокращённого умножения.
Корень x = -2.
Проверяем ограничение: -2 < -1.

Второй способ решения

50:46

Делаем замену модуля на x + 1 = t.
Решаем квадратное уравнение относительно t.
Корень t = 1.
Возвращаемся к переменной x: x = 0 и x = -2.

Заключение

53:07

Оба способа решения рассмотрены.
Примеры решены, предлагается решить аналогичные уравнения.
Анонс следующего разбора: показательные уравнения.