Отображения множеств

YOUTUBE · 19.11.2025 06:01

Ключевые темы и таймкоды

Введение в отображение множеств

0:04

Обсуждение понятия отображения множеств.
Определение множества: множество — это совокупность элементов, которые можно перечислить.
Примеры конечных и бесконечных множеств.

Определение отображения множеств

1:03

Отображение из множества X в множество Y: каждому элементу X сопоставлен ровно один элемент Y.
Аналогия с функцией: функция может рассматриваться как отображение области определения в множество действительных чисел.

Пример отображения

2:03

Пример отображения множества A в множество X: элементы A переходят в элементы X.
Важность соответствия каждому элементу X ровно одного элемента Y.

Пример неправильного отображения

3:02

Пример неправильного отображения: элемент A переходит в элементы 0 и 1, что нарушает условие единственности.
Подчёркивание важности понимания контрпримеров для лучшего усвоения определений.

Инъективное отображение

4:21

Инъективное отображение: разные элементы X переходят в разные элементы Y.
Пример инъективного отображения: элементы A и B переходят в разные элементы Y.
Пример неинъективного отображения: элементы A и B переходят в один и тот же элемент Y.

Суъективное отображение

6:27

Суъективное отображение: в каждый элемент Y переходит хотя бы один элемент X.
Пример суъективного отображения: элементы A, B, C и D переходят в элементы X, Y и Z соответственно.
Пример несуъективного отображения: элемент Z не имеет соответствия в X.

Определение объективного отображения

8:19

Отображение f из множества X в множество Y называется объективным или биективным, если оно инъективно и сюръективно.
Пример объективного отображения: элементы множеств X и Y соединены стрелкой.
Объективное отображение иногда называют взаимно-однозначным.

Анализ функции возведения в куб

9:17

Функция f, которая переводит x в x³, является инъективной, так как два разных элемента не могут перейти в один и тот же элемент.
Функция также является сюръективной, так как любое число можно представить в виде кубического корня.
Следовательно, f — объективное отображение.

Анализ функции возведения в квадрат

11:46

Функция f, которая переводит x в x², не является инъективной, так как два разных числа могут перейти в одно и то же значение, например, -5 и 5 переходят в 25.
Функция также не является сюръективной, так как отрицательные числа нельзя представить в виде квадрата.

Изменение множества для функции возведения в квадрат

13:08

Если рассматривать только неотрицательные числа, функция f становится инъективной и сюръективной.
Любое неотрицательное число можно представить как квадрат некоторого числа.
В этом случае f является объективным отображением.

Заключение

14:09

Важно указывать, на каком множестве рассматривается отображение.
Три класса отображений: сюръективные, инъективные и объективные.
Пример показывает, как изменение множества может кардинально изменить свойства отображения.